|
Anem a explicar un exemple. Suposem que mesurem l'amplada del front de totes les noies que estan cursant a Catalunya `2n` de batxillerat i calculem la mitjana i la desviació típica. Suposem que ha sortit `mu=189` `mm` i `sigma=10,84` `mm`. Imaginem per un moment que necessitem calcular quina és la probabilitat de que el front d'una noia, que està cursant a Catalunya `2n` de batxillerat, estigui entre `[167'7536, 210'2464]` `mm`. Segurament més endavant s'entendrà el perquè em triat aquest números, però ara no és important, el que sí és important és saber calcular això. Pensarem que si tenim totes les dades, l'únic que hem de fer és mirar quantes noies els mesura el front entre aquestos números. Però suposem que hem perdut les dades i només tenim la mitjana i la desviació típica calculada mostrades abans. Com podem calcular quina és la probabilitat de que el front d'una noia, que està cursant a Catalunya `2n` de batxillerat, estigui entre `[167'7536, 210'2464]` `mm`? 1-Anem una mica més endarrera. Suposem que tenim `30` noies en els nostre institut i calculem com mesura el seu front i construïm un histograma.  Hi ha una funció matemàtica que es diu campana de Gauss o funció de distribució Normal (o de Gauss) que té la següent expressió: Que en el nostre cas és: Que si la dibuixem en el mateix lloc:  Però, què passa si fem l'estudi per a totes les noies de `2n` de batxillerat de Catalunya. Dibuixem l'histograma i a sobre la funció de distribució de Gauss:  Les dues gràfiques s'assemblen molt i podem contestar a preguntes com la que ens hem fet fent servir un model, la funció de distribució de Gauss. Cal saber que l'area que queda sota la funció de Gauss entre `(-infty, infty)` és `=1`. O sigui, és una bona funció de distribució de probabilitat. Per la qual cosa si volem calcular quina és la probabilitat de que el front d'una noia, que està cursant a Catalunya `2n` de batxillerat, estigui entre `[167'7536, 210'2464]` `mm` el que podem fer és dibuixar la funció de distribució de Gauss i calcular l'àrea que queda entre aquests nombres.  O sigui, un `95%` de les noies de Catalunya que cursen `2n` de batxillerat el seu front mesura entre `[167'7536, 210'2464]` `mm`. Fixeu-vos que no cal que tinguem la funció de distribució que hem dit. Si calculem a quantes desviacions típiques estan les nostres dades de la mitjana.
 Vol dir que sempre que ens demanin quina probabilitat tenim de que unes dades distribuides segons una distribució normal estiguin entre `[-1'96, 1'96]` desviacions típiques de la mitjana, la probabiltat demanada serà:
Problema 1 - Suposem que hem comprat un carregament de pomes i les pesem totes i veiem que la mitjana del pes es 200 grams i la desviació típica de 10 grams. Si suposem que la distribució de pesos de les pomes segueix una distribució normal, quantes pomes pesen entre `180,4` i `219,6`. Podem fer servir el programa Gauss i posar:  I curiosament dona el `0,95` com abans. Però no ens hauria d'estranyar ja que l'interval no és més que és a dir, els extrems d el'interval estan a `1'96` desviacions típiques de la mitjana. Per calcular-ho només cal fer: Això vol dir que ho podiem haver calculat amb la funció de distribució normal tipificada, `mu=0` i `sirma=1`  Que és el que es calculava antigament quan es feia servir una taula. Ara no ve a cuento com fer-la servir, tot i que pot tenir el seu interès. Us podeu saltar-ho.  Font Resum de tot plegat si ens demanen un interval de confiança d'un `95%` d'una variable aleatòria que segueixi una funció de distribució normal, els valors estaran entre `[-1'96, 1'96]` desviacions típiques de la mitjana. I si ens demanen un interval de confiança del `99%` caldrà que els valors estiguin entre `[-2'58, 2'58]` desviacions típiques de la mitjana.  Això serveix per explicar quan surt en la inferència estadística la fórmula següent, d'on surt:
|